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🇨🇩 Nombres

Z : valeur absolue, ordre et puissances

⏱ 25 minProgramme officiel : CD-E8-NOM-01

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🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

  • Utiliser la valeur absolue, additionner et soustraire dans Z, appliquer la priorité des opérations et calculer des puissances.

La leçon

Introduction

Au port de Kinshasa, on mesure chaque matin le niveau du fleuve par rapport à un repère. Un jour, il est à +3+3 cm ; une semaine plus tard, à −5-5 cm. Les nombres positifs et négatifs forment l’ensemble Z\mathbb{Z} des entiers relatifs. Dans cette leçon, tu utilises la valeur absolue, tu ranges des entiers relatifs, tu additionnes et soustrais dans Z\mathbb{Z}, tu respectes la priorité des opérations et tu calcules des puissances.

Explication

Valeur absolue et ordre

La valeur absolue d’un entier relatif est sa distance à 00 sur la droite graduée. On la note ∣a∣|a|. Par exemple, ∣−7∣=7|-7|=7, ∣7∣=7|7|=7 et ∣0∣=0|0|=0. Une valeur absolue n’est jamais négative.

Deux nombres comme −7-7 et 77 sont opposés : ils ont la même valeur absolue et des signes contraires.

Pour comparer :

  • un nombre positif est plus grand qu’un nombre négatif ;
  • entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue ;
  • entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue : −3>−9-3>-9.

Explication

Addition et soustraction dans Z\mathbb{Z}

  • Mêmes signes : on additionne les valeurs absolues et on garde le signe commun : (−4)+(−6)=−10(-4)+(-6)=-10.
  • Signes contraires : on soustrait la plus petite valeur absolue de la plus grande et on garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue : (−9)+4=−5(-9)+4=-5.
  • Soustraire, c’est ajouter l’opposé : a−b=a+(−b)a-b=a+(-b). Ainsi, 3−(−8)=3+8=113-(-8)=3+8=11.

Règle des parenthèses : un signe ++ devant une parenthèse ne change rien ; un signe −- devant une parenthèse change le signe de chaque terme à l’intérieur : −(5−2)=−5+2-(5-2)=-5+2.

Explication

Puissances et priorité des opérations

Pour un entier n≥2n\ge2, an=a×a×⋯×aa^n=a\times a\times\dots\times a (nn facteurs). Par convention, a1=aa^1=a et a0=1a^0=1 si a≠0a\ne0.

  • Une puissance d’un nombre négatif est positive si l’exposant est pair et négative s’il est impair : (−2)4=16(-2)^4=16 et (−2)3=−8(-2)^3=-8.
  • Même base : am×an=am+na^m\times a^n=a^{m+n}.

Ordre des calculs :

  1. les parenthèses ;
  2. les puissances ;
  3. les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
  4. les additions et soustractions, de gauche à droite.

Exemple résolu

Problème : Range dans l’ordre croissant : −7-7 ; 33 ; −2-2 ; 00 ; −11-11 ; 55.

Étape 1 : Les nombres négatifs sont les plus petits. Parmi eux, le plus petit a la plus grande valeur absolue : ∣−11∣=11|-11|=11, ∣−7∣=7|-7|=7, ∣−2∣=2|-2|=2. Donc −11<−7<−2-11<-7<-2.

Étape 2 : Ensuite viennent 00, puis les positifs 33 et 55.

Réponse : −11<−7<−2<0<3<5-11<-7<-2<0<3<5.

Exemple résolu

Problème : Calcule A=−8+3×(−2)3−(5−12)A=-8+3\times(-2)^3-(5-12).

Étape 1 : Parenthèse : 5−12=−75-12=-7.

Étape 2 : Puissance : (−2)3=−8(-2)^3=-8 (exposant impair, résultat négatif).

Étape 3 : Multiplication : 3×(−8)=−243\times(-8)=-24.

Étape 4 : A=−8+(−24)−(−7)=−8−24+7=−25A=-8+(-24)-(-7)=-8-24+7=-25.

Réponse : A=−25A=-25.

Exemple résolu

Problème : Au port, le niveau du fleuve est au repère 00 lundi matin. Il monte de 44 cm mardi, baisse de 77 cm mercredi, baisse de 22 cm jeudi puis monte de 33 cm vendredi. Où est-il vendredi soir ?

Étape 1 : On traduit par des entiers relatifs : +4+4, −7-7, −2-2, +3+3.

Étape 2 : 0+4−7−2+3=−20+4-7-2+3=-2.

Réponse : le niveau est à −2-2 cm, c’est-à-dire 22 cm sous le repère.

Attention

Attention aux parenthèses dans les puissances : (−3)2=(−3)×(−3)=9(-3)^2=(-3)\times(-3)=9, mais −32=−(3×3)=−9-3^2=-(3\times3)=-9. Sans parenthèse, l’exposant ne porte que sur 33, pas sur le signe. De même, ne confonds pas ∣−5∣=5|-5|=5 avec l’opposé de 55.

À retenir

  • ∣a∣|a| est la distance de aa à 00 ; elle est toujours positive ou nulle.
  • Entre deux négatifs, le plus grand a la plus petite valeur absolue.
  • Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
  • Un −- devant une parenthèse change tous les signes à l’intérieur.
  • Exposant pair : résultat positif ; exposant impair : signe conservé.
  • Ordre : parenthèses, puissances, ×\times et ÷\div, puis ++ et −-.

✍️ Exercices

Réponds à un exercice à la fois. Ta réponse est corrigée aussitôt, avec une explication.

Exercice 1 sur 9

★ Facile

Calcule ∣−14∣+∣6∣|-14|+|6|.

Ta réponse