Droites, distances et angles

Une famille veut relier sa maison à une route droite par un petit chemin. Où faut-il le construire pour qu’il soit le plus court possible ? Et deux rails de chemin de fer, qui ne se rencontrent jamais, quels angles forment-ils avec une route qui les traverse ? Dans cette leçon, tu étudies les positions relatives de deux droites, les distances (entre deux points, d’un point à une droite), l’inégalité triangulaire et les angles formés par deux droites et une sécante.

Positions relatives de deux droites du plan

• Sécantes : elles ont exactement un point commun. Si elles forment un angle droit, elles sont perpendiculaires ($d\perp d'$).
• Parallèles : elles n’ont aucun point commun (strictement parallèles) ou tous leurs points en commun (confondues). On note $d\parallel d'$.

Propriétés :

• Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles.
• Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
• Par un point, il passe une seule droite parallèle à une droite donnée.

Distances et inégalité triangulaire

• La distance entre deux points $A$ et $B$ est la longueur du segment $[AB]$, notée $AB$.
• La distance d’un point $A$ à une droite $d$ est la longueur $AH$, où $H$ est le pied de la perpendiculaire à $d$ passant par $A$. C’est la plus courte distance entre $A$ et un point de $d$.

Inégalité triangulaire : pour trois points $A$, $B$, $C$ quelconques,
$$AB\le AC+CB$$
L’égalité $AB=AC+CB$ a lieu seulement si $C$ est sur le segment $[AB]$.

Conséquence : on peut construire un triangle (non aplati) avec trois longueurs si la plus grande est strictement inférieure à la somme des deux autres.

Angles formés par deux droites et une sécante

Deux droites $d$ et $d'$ sont coupées par une troisième droite $s$, la sécante. On obtient huit angles.

• Correspondants : du même côté de $s$, l’un au-dessus de $d$, l’autre au-dessus de $d'$ (même position).
• Alternes-internes : de part et d’autre de $s$, tous deux entre $d$ et $d'$.
• Alternes-externes : de part et d’autre de $s$, tous deux à l’extérieur de la bande formée par $d$ et $d'$.

Propriété : si $d\parallel d'$, les angles correspondants, alternes-internes et alternes-externes sont égaux. Réciproquement, si deux de ces angles sont égaux, alors $d\parallel d'$.

Deux angles adjacents ont le même sommet, un côté commun, et sont situés de part et d’autre de ce côté.