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🇨🇩 Espace et plan

Solides et perspective cavalière

⏱ 30 minProgramme officiel : CD-E8-GEO-01

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🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

  • Calculer aires et volumes du cône, de la sphère, du prisme et du cylindre.
  • Représenter un cube et un pavé droit en perspective cavalière.

La leçon

Introduction

Une citerne d’eau en forme de cylindre, un tas de sable conique sur un chantier, un ballon de football sphérique, une boîte en forme de pavé : les solides sont partout autour de nous. Dans cette leçon, tu calcules l’aire et le volume du prisme droit, du cylindre, du cône et de la sphère, et tu apprends à dessiner un cube ou un pavé droit en perspective cavalière.

Explication

Prisme droit et cylindre

Ces deux solides ont deux bases identiques et parallèles, reliées par une surface latérale. On note BB l’aire d’une base et hh la hauteur.

SolideAire latéraleVolume
Prisme droitAℓ=peˊrimeˋtre de la base×h\mathcal{A}_\ell=\text{périmètre de la base}\times hV=B×hV=B\times h
Cylindre de rayon rrAℓ=2πrh\mathcal{A}_\ell=2\pi rhV=πr2hV=\pi r^2h

Aire totale == aire latérale + 2B+\,2B. Pour le cylindre : At=2πrh+2πr2\mathcal{A}_t=2\pi rh+2\pi r^2.

Dans les calculs, on prend souvent π≈3,14\pi\approx3{,}14.

Explication

Cône et sphère

Un cône de révolution a une base en forme de disque de rayon rr, une hauteur hh et une génératrice gg (la longueur qui va du sommet au bord de la base).
Vcoˆne=13πr2hAℓ=πrgAt=πrg+πr2V_{\text{cône}}=\dfrac{1}{3}\pi r^2h\qquad\mathcal{A}_\ell=\pi rg\qquad\mathcal{A}_t=\pi rg+\pi r^2
Le volume d’un cône est le tiers de celui du cylindre de même base et de même hauteur.

Une sphère de rayon rr :
A=4πr2V=43πr3\mathcal{A}=4\pi r^2\qquad V=\dfrac{4}{3}\pi r^3

Unités : 11 dm³ =1=1 litre et 11 m³ =1 000=1\,000 litres.

Explication

La perspective cavalière

C’est une façon de dessiner un solide sur une feuille plate pour donner l’impression de profondeur.

  • La face avant est dessinée en vraie grandeur (sans déformation).
  • Les arêtes perpendiculaires à la face avant, appelées fuyantes, sont tracées obliquement, avec un angle de fuite (souvent 45∘45^\circ ou 30∘30^\circ).
  • Leur longueur est multipliée par un coefficient de réduction kk (souvent 0,50{,}5).
  • Les arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
  • Les arêtes cachées sont tracées en pointillés.

Exemple résolu

Problème : Une citerne cylindrique a un rayon de 0,50{,}5 m et une hauteur de 1,21{,}2 m. Quelle est sa capacité en litres ? Prends π≈3,14\pi\approx3{,}14.

Étape 1 : V=πr2h≈3,14×0,52×1,2V=\pi r^2h\approx3{,}14\times0{,}5^2\times1{,}2.

Étape 2 : 0,52=0,250{,}5^2=0{,}25 ; 0,25×1,2=0,30{,}25\times1{,}2=0{,}3 ; 3,14×0,3=0,9423{,}14\times0{,}3=0{,}942 m³.

Étape 3 : 11 m³ =1 000=1\,000 l, donc 0,9420{,}942 m³ =942=942 l.

Réponse : la citerne contient environ 942942 litres.

Exemple résolu

Problème : Un cône a un rayon de 33 cm, une hauteur de 44 cm et une génératrice de 55 cm. Une sphère a un rayon de 66 cm. Calcule le volume et l’aire latérale du cône, puis l’aire et le volume de la sphère (π≈3,14\pi\approx3{,}14).

Étape 1 : Cône : V=13×3,14×32×4=3,14×12=37,68V=\dfrac{1}{3}\times3{,}14\times3^2\times4=3{,}14\times12=37{,}68 cm³.

Étape 2 : Aℓ=3,14×3×5=47,1\mathcal{A}_\ell=3{,}14\times3\times5=47{,}1 cm².

Étape 3 : Sphère : A=4×3,14×62=452,16\mathcal{A}=4\times3{,}14\times6^2=452{,}16 cm² et V=43×3,14×63=288×3,14=904,32V=\dfrac{4}{3}\times3{,}14\times6^3=288\times3{,}14=904{,}32 cm³.

Réponse : cône : 37,6837{,}68 cm³ et 47,147{,}1 cm² ; sphère : 452,16452{,}16 cm² et 904,32904{,}32 cm³.

Exemple résolu

Problème : Dessine en perspective cavalière un pavé droit de 66 cm de longueur, 44 cm de hauteur et 33 cm de profondeur (angle de fuite 45∘45^\circ, coefficient 0,50{,}5).

Étape 1 : Trace la face avant en vraie grandeur : un rectangle de 66 cm sur 44 cm.

Étape 2 : Longueur dessinée des fuyantes : 3×0,5=1,53\times0{,}5=1{,}5 cm. À partir de chaque sommet, trace un segment de 1,51{,}5 cm incliné à 45∘45^\circ.

Étape 3 : Relie les extrémités pour obtenir la face arrière, un rectangle de 66 cm sur 44 cm.

Étape 4 : Trace en pointillés les 33 arêtes cachées, qui partent du sommet arrière caché.

Réponse : on obtient un dessin avec 99 arêtes visibles et 33 cachées.

Attention

Erreurs fréquentes :

  • Oublier le 13\dfrac{1}{3} dans le volume du cône : sans lui, on calcule le volume d’un cylindre.
  • Confondre rayon et diamètre : si l’énoncé donne un diamètre de 22 m, le rayon est 11 m.
  • En perspective cavalière, seules les fuyantes sont réduites ; la face avant garde ses vraies dimensions.

À retenir

  • Prisme droit : V=B×hV=B\times h ; cylindre : V=πr2hV=\pi r^2h et Aℓ=2πrh\mathcal{A}_\ell=2\pi rh.
  • Cône : V=13πr2hV=\dfrac{1}{3}\pi r^2h et Aℓ=πrg\mathcal{A}_\ell=\pi rg.
  • Sphère : A=4πr2\mathcal{A}=4\pi r^2 et V=43πr3V=\dfrac{4}{3}\pi r^3.
  • 11 dm³ =1=1 l ; 11 m³ =1 000=1\,000 l.
  • Perspective cavalière : face avant en vraie grandeur, fuyantes inclinées et réduites, arêtes cachées en pointillés.

✍️ Exercices

Réponds à un exercice à la fois. Ta réponse est corrigée aussitôt, avec une explication.

Exercice 1 sur 10

★ Facile

Un prisme droit a une base d’aire 1212 cm² et une hauteur de 55 cm. Quel est son volume ?

Ta réponse