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🇨🇩 Géométrie

Polygones, solides, aires et volumes

⏱ 25 minProgramme officiel : CD-E7-GEO-01

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🎯 Dans cette leçon, tu vas apprendre à

  • Reconnaître les quadrilatères ; calculer aires et volumes du cube et de la pyramide.

La leçon

Introduction

À Goma, Amani construit une citerne en forme de cube pour recueillir l’eau de pluie. Il veut savoir combien de litres elle contiendra et quelle surface de ciment il faut pour la recouvrir. Sur le toit d’une case, il observe aussi une forme de pyramide. Dans cette leçon, tu apprends à reconnaître les quadrilatères et à calculer les aires et les volumes du cube et de la pyramide.

Explication

Polygones et quadrilatères

Un polygone est une figure plane fermée formée de segments : triangle (33 côtés), quadrilatère (44), pentagone (55), hexagone (66)…

QuadrilatèrePropriété qui le définitDiagonales
Trapèzeune paire de côtés parallèlesaucune propriété particulière
Parallélogrammedeux paires de côtés parallèlesse coupent en leur milieu
Rectangleparallélogramme avec un angle droitde même longueur
Losangequatre côtés de même longueurperpendiculaires
Carrérectangle et losange à la foisde même longueur et perpendiculaires

Rectangles, losanges et carrés sont des parallélogrammes particuliers : leurs diagonales se coupent aussi en leur milieu. Tout carré est donc un rectangle et un losange.

Explication

Le cube

Un cube d’arête aa a 66 faces carrées, 1212 arêtes et 88 sommets.

  • Aire totale (les 66 faces) : A=6a2\mathcal{A}=6a^2.
  • Volume : V=a3V=a^3.

Les aires s’expriment en unités carrées (cm2\text{cm}^2, m2\text{m}^2) et les volumes en unités cubes (cm3\text{cm}^3, m3\text{m}^3). Rappel : 1 dm3=11\ \text{dm}^3=1 l et 1 m3=1 0001\ \text{m}^3=1\,000 l.

Explication

La pyramide

Une pyramide a une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un point, le sommet. La hauteur hh est la distance du sommet au plan de la base.

  • Volume : V=Abase×h3V=\dfrac{\mathcal{A}_{\text{base}}\times h}{3}.
  • Aire latérale : somme des aires des faces triangulaires. Pour une pyramide régulière à base carrée de côté cc, chaque face a pour hauteur l’apothème apa_p : Alat=4×c×ap2\mathcal{A}_{\text{lat}}=4\times\dfrac{c\times a_p}{2}.
  • Aire totale : Alat+Abase\mathcal{A}_{\text{lat}}+\mathcal{A}_{\text{base}}.

Exemple résolu

Problème : La citerne d’Amani est un cube de 1,21{,}2 m d’arête. Calcule son volume en litres et l’aire de ses 66 faces.

Étape 1 : Volume : V=1,23=1,2×1,2×1,2=1,728 m3V=1{,}2^3=1{,}2\times1{,}2\times1{,}2=1{,}728\ \text{m}^3.

Étape 2 : Conversion : 1,728×1 000=1 7281{,}728\times1\,000=1\,728 l.

Étape 3 : Aire d’une face : 1,22=1,44 m21{,}2^2=1{,}44\ \text{m}^2 ; aire totale : 6×1,44=8,64 m26\times1{,}44=8{,}64\ \text{m}^2.

Réponse : la citerne contient 1 7281\,728 l ; ses faces mesurent 8,64 m28{,}64\ \text{m}^2 en tout.

Exemple résolu

Problème : Une pyramide régulière a une base carrée de 66 cm de côté, une hauteur de 44 cm et un apothème de 55 cm. Calcule son volume et son aire totale.

Étape 1 : Aire de la base : 6×6=36 cm26\times6=36\ \text{cm}^2.

Étape 2 : Volume : V=36×43=48 cm3V=\dfrac{36\times4}{3}=48\ \text{cm}^3.

Étape 3 : Aire latérale : 4×6×52=4×15=60 cm24\times\dfrac{6\times5}{2}=4\times15=60\ \text{cm}^2.

Étape 4 : Aire totale : 60+36=96 cm260+36=96\ \text{cm}^2.

Réponse : V=48 cm3V=48\ \text{cm}^3 et A=96 cm2\mathcal{A}=96\ \text{cm}^2.

Attention

Attention : pour le volume d’une pyramide, on n’oublie pas de diviser par 33 : une pyramide occupe le tiers du volume du prisme de même base et de même hauteur. Ne confonds pas non plus la hauteur de la pyramide avec l’apothème : la hauteur sert au volume, l’apothème sert à l’aire des faces.

À retenir

  • Trapèze : une paire de côtés parallèles ; parallélogramme : deux paires ; rectangle, losange et carré sont des parallélogrammes particuliers.
  • Cube d’arête aa : A=6a2\mathcal{A}=6a^2 ; V=a3V=a^3.
  • Pyramide : V=Abase×h3V=\dfrac{\mathcal{A}_{\text{base}}\times h}{3} ; aire totale == aire latérale ++ aire de la base.
  • 1 dm3=11\ \text{dm}^3=1 l ; 1 m3=1 0001\ \text{m}^3=1\,000 l.

✍️ Exercices

Réponds à un exercice à la fois. Ta réponse est corrigée aussitôt, avec une explication.

Exercice 1 sur 8

★ Facile

Comment appelle-t-on un quadrilatère qui a exactement une paire de côtés parallèles ?

Ta réponse