Puissances, bases et changements de base

Dans un magasin scolaire de Kananga, Ngalula range les cahiers par paquets de 5, puis les paquets par cartons de 5. Compter ainsi par groupes, c’est utiliser une base de numération. Les groupes de groupes font apparaître des puissances : $5\times5=5^2$. Dans cette leçon, tu apprends à calculer des puissances, à trouver la valeur d’un polynôme arithmétique et à écrire un nombre naturel dans différentes bases.

Puissance d’un nombre naturel

Pour $a\in\mathbb{N}$ et $n\in\mathbb{N}$, $n\ge2$ :
$$a^n=\underbrace{a\times a\times\dots\times a}_{n\text{ facteurs}}$$
$a$ est la base et $n$ l’exposant. Par convention, $a^1=a$ et $a^0=1$ (pour $a\ne0$).

• $a^2$ se lit « $a$ au carré » et $a^3$ « $a$ au cube ».
• Pour une même base : $a^m\times a^n=a^{m+n}$ et $(a^m)^n=a^{m\times n}$.
• Si $m\ge n$ et $a\ne0$ : $a^m\div a^n=a^{m-n}$.
• $(a\times b)^n=a^n\times b^n$.

Priorité : dans un calcul, on effectue d’abord les puissances, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions.

Polynôme arithmétique

Un polynôme arithmétique est une somme de termes de la forme $c\times b^k$, où $c$ et $b$ sont des naturels. Sa valeur numérique s’obtient en calculant chaque terme.

Tout naturel écrit en base dix est un polynôme arithmétique en puissances de $10$ :
$$4\,072=4\times10^3+0\times10^2+7\times10^1+2\times10^0$$

Chaque chiffre est multiplié par la puissance de $10$ qui correspond à son rang.

Bases de numération

En base $b$ ($b\ge2$), on groupe par $b$ et on utilise seulement les chiffres $0$ à $b-1$. On note par exemple $(1011)_2$ ou $(2314)_5$.

• De la base $b$ vers la base dix : on écrit le polynôme arithmétique en puissances de $b$ et on calcule. Par exemple, $(1011)_2=1\times2^3+0\times2^2+1\times2+1=11$.
• De la base dix vers la base $b$ : on divise le nombre par $b$, puis chaque quotient par $b$, jusqu’à obtenir un quotient nul. On lit ensuite les restes du dernier au premier.
• D’une base $b$ vers une base $c$ : on passe par la base dix.