Puissances, radicaux et fractions rationnelles

Un ingénieur de Matadi calcule la diagonale d’une dalle carrée de 3 m de côté : il obtient $3\sqrt2$ m. Une coopérative de Gemena compare des rendements avec des fractions comme $\dfrac{x+2}{x}$. Pour manipuler ces expressions sans erreur, il faut maîtriser les puissances, les radicaux et les fractions rationnelles. Dans cette leçon, tu apprends à les simplifier et à opérer sur elles.

Puissances à exposant rationnel

Pour $a>0$, $n\in\mathbb{N}^*$ et $m\in\mathbb{Z}$ :
$$a^{\frac1n}=\sqrt[n]a\qquad\text{et}\qquad a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]a\right)^m.$$

Les règles des exposants entiers restent vraies pour $a,b>0$ et $p,q\in\mathbb{Q}$ :
$a^p\,a^q=a^{p+q}$ ; $\dfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$ ; $(a^p)^q=a^{pq}$ ; $(ab)^p=a^pb^p$ ; $a^{-p}=\dfrac1{a^p}$.

Exemple : $8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]8\right)^2=2^2=4$ et $27^{-\frac13}=\dfrac1{\sqrt[3]{27}}=\dfrac13$.

Radicaux

Pour $a\ge0$ et $b\ge0$ :

• $\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b$ et, si $b>0$, $\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$ ;
• pour tout réel $x$, $\sqrt{x^2}=|x|$.

Simplifier un radical : on fait apparaître un carré parfait, par exemple $\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2$.

Rendre rationnel un dénominateur :

• $\dfrac{1}{\sqrt a}=\dfrac{\sqrt a}{a}$ ;
• avec une somme ou une différence, on multiplie par l’expression conjuguée : $(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)=a-b$.

Fractions rationnelles

Une fraction rationnelle est un quotient $F(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ de deux polynômes, $Q$ non nul. Elle est définie pour les réels $x$ tels que $Q(x)\ne0$ : c’est son domaine $\text{dom}\,F$.

• Simplifier : on factorise numérateur et dénominateur (facteur commun, produits remarquables, racines), puis on simplifie par un facteur commun non nul, en gardant les conditions du domaine.
• Additionner : on réduit au même dénominateur (le plus petit multiple commun des dénominateurs).
• Multiplier : $\dfrac PQ\times\dfrac RS=\dfrac{PR}{QS}$ ; diviser : $\dfrac PQ\div\dfrac RS=\dfrac PQ\times\dfrac SR$ (avec $R(x)\ne0$).